positive-definite, negative-definite matrix

A > 0와 같은 행렬 부등식이 있다.

 

행렬 A가 0보다 크다는 이야기이다. 행렬에 대해서는 이러한 부등호의 관점이 행렬 A의 모든 성분이 0보다 크다는 것을 의미하는 것은 아니다.

 

위의 A > 0 식은 행렬 A가 정정 행렬(positive-define matrix)를 나타낸다.

또한, 부등호가 포함된 A >= 0 식은 행렬 A가 준정정 행렬(positive semi-define matrix)를 나타냅니다.

 

위키피디아에서는 다음과 같이 정의 되어 있습니다.

 

예제1

Identity matrix I 행렬은 정정(positive-definite), 준정정(positive semi-definite)이며, 대칭적인(symmetric) 행렬입니다.

 

실수 a와 b를 가진 모든 Non-zero Column vector z는 다음 식을 만족합니다.

 

 그리고 복소수 a와 b를 가진 모든 Non-zero Column vector Z는 다음 식을 만족합니다.

 

(적어도 a와 b가 0이 아니면) 어느쪽이든 결과는 z가 Non-zero vector 이기 때문에 positive 합니다. 

 

예제2

 

a, b, c를 가진 Non-zero column vector z에 대해서 실수 대칭(symmetric) 행렬 M은 정정(positive-definite) 행렬이기 때문에 다음과 같습니다. 

예제들의 식의 결과 제곱의 합이므로, Non-negative입니다. 오직 a, b, c가 0일 때만 z는 zero vector가 됩니다.

 

그리고 이러한 특성에 의해 a, b가 0 혹은 a, b, c가 0을 제외하고는 모두 다 0보다 큰 값을 갖게 됩니다.

 

이것을 두고 정정 다른말로 양의 정부호(positive definite)라고 말합니다. 

 

함수

 

함수로서는 F(x, y)인 2차 함수를 이용해서 설명하면

 

일반적인 2차 함수를 이용하면

위의 식과 같이 결과는 제곱항이므로 f(x, y)는 점 (0, 0)을 제외하고는 모두 다 0보다 큰 값을 갖습니다. 따라서 함수 값들은 한 점 (0, 0)을 제외하고는 모두 양수로 한정되어 있기 때문에 한 점 (0, 0)은 f(x, y)에서 극소점이면서 최소점이 됩니다.

 

양의 정부호 일 때는 다음과 같이 극소점을 가지며, 음의 정부호 일 때는 극대점을 가지며, 안장(saddle) 일 때는 안장점(saddle point)를 가집니다.

양의 정부호, 극소점

음의 정부호, 극대점

안장, 안장점

 

정정(positive-definite) 행렬은 여러모로 유용하게 쓰이는 행렬입니다. 대칭(symmetric) 행렬은 실수인 고유 값들을 가지며, 정정(positive-definite) 행렬도 마찬가지로 실수인 고유값들이 있으며 양수 고유값들을 가진다.

 

양의 정부호 행렬 조건은 다음과 같다.

 

1. 0이 아닌 모든 실수 벡터 z에 대해서 z.T * M * z > 0 을 만족해야 한다.

2. 행렬 M의 모든 고유 값들이 0보다 크다.

3. 행렬 M의 모든 서브 행렬의 행렬식 들이 0보다 크다.

4. 행렬 M의 모든 피봇들이 0보다 크다.

5. M = R.T * R인 독립 열들을 지닌 행렬 R이 존재한다.

 

각 조건들을 공부.